f(x+y) = f(x) + f(y) 함수의 성질

pf)

$f(x)$가 미분가능할 때,

$x=y=0$ 대입,   $f(0+0) = f(0) + f(0)\iff f(0) = 0$ 이고,

$$\begin{align}
\lim_{h\to0}f^{'}(x) &=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{(f(x)+f(h)) - f(x)}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h} \\
&= \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} \\
&= f ^{'}(0)
\end{align}$$ 이다.

$\therefore f(x)=f^{'}(0)x $

결론

$f(x+y) = f(x) + f(y)$ 일 때 미분 가능한 함수 f는 원점을 지나는 직선 (일차함수 x, 상수함수 포함.)